Определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Одной из наиболее часто встречающихся задач является поиск необходимых данных. Существуют различные методы, отличающиеся друг от друга временем поиска, сложностью алгоритмов, размерами требуемой памяти. Обычно стремятся всячески сократить время, затрачиваемое на поиск необходимого элемента. Одним из самых быстрых методов является поиск по упорядоченному бинарному дереву. При удачной структуре дерева время поиска элементов не превышает в среднем log N. Но при неудачной структуре время поиска может значительно возрасти, достигая N\2. ( N - число элементов дерева).

Одним из методов, улучшающих время поиска в бинарном дереве является создание сбалансированных деревьев обладающих минимальным временем поиска.

Одно из определений сбалансированности было дано Адельсоном-Вельским и Ландисом:

Дерево является СБАЛАНСИРОВАННЫМ тогда и только тогда, когда для каждого узла высота его двух поддеревьев различается не более чем на 1.

Поэтому деревья, удовлетворяющие этому условию, часто называют "АВЛ-деревьями" (по фамилиям их изобретателей).

Операции выполняемые над сбалансированным деревом: поиск, вставка, удаление элемента.

Обратимся к задаче поддержания структуры дерева таким образом, чтобы за время, не превышающее (log N), могла быть выполнена каждая из следующих операций:

• 1) вставить новый элемент;
• 2) удалить заданный элемент;
• 3) поиск заданного элемента.

С тем чтобы предупредить появление несбалансированного дерева, вводится для каждого узла (вершины) дерева показатель сбалансированности, который не может принимать одно из трех значений, левое - (L), правое - (R), сбалансированное - (B), в соответствии со следующими определениями:

левое - узел левоперевешивающий, если самый длинный путь по ее левому поддереву на единицу больше самого длинного пути по ее правому поддереву;

сбалансированное - узел называется сбалансированный, если равны наиболее длинные пути по обеим ее поддеревьям;

правое - узел правоперевешивающий, если самый длинный путь по ее правому поддереву на единицу больше самого длинного пути по ее левому поддереву;

В сбалансированном дереве каждый узел должен находится в одном из этих трех состояний. Если в дереве существует узел, для которого это условие несправедливо, такое дерево называется несбалансированным.